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微積分（Calculus）是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。
微積分主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用，并成為了現(xiàn)代大學(xué)教育的重要組成部分。
微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué)。
(相關(guān)資料圖)
微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等。
積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等。
從廣義上說(shuō)，數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科，但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來(lái)，數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞，一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分
一元微分
折疊定義
設(shè)函數(shù)?在某區(qū)間內(nèi)有定義，?及?+ Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(?+ Δx) – f(?）可表示為 Δy = AΔx + o（Δx）（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o（Δx）是比Δx高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù)f(x）在點(diǎn)?是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點(diǎn)x0相應(yīng)于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。
通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x）的微分又可記作dy = f"(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商[4]。
折疊幾何意義
設(shè)Δx是曲線y = f(x）上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量，Δy是曲線在點(diǎn)M對(duì)應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量，dy是曲線在點(diǎn)M的切線對(duì)應(yīng)Δx在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)|Δx|很小時(shí)，|Δy－dy|比|Δx|要小得多（高階無(wú)窮?。虼嗽邳c(diǎn)M附近，我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段[4]。
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積分相關(guān)
（1）定積分和不定積分
積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，定積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說(shuō)是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。
一個(gè)函數(shù)的不定積分（亦稱原函數(shù)）指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)。
其中：?
一個(gè)實(shí)變函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的定積分，是一個(gè)實(shí)數(shù)。它等于該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在b的值減去在a的值。
定積分和不定積分的定義迥然不同，定積分是求圖形的面積，即是求微元元素的累加和，而不定積分則是求其原函數(shù)而牛頓和萊布尼茨則使兩者產(chǎn)生了緊密的聯(lián)系（詳見牛頓-萊布尼茨公式）。
（2）常微分方程與偏微分方程
含自變量、未知函數(shù)和它的微商（或偏微商）的方程稱為常（或偏）微分方程。未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程。未知函數(shù)為多元函，從而出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程，稱為偏微分方程。
4.極限理論
十七世紀(jì)以來(lái)，微積分的概念和技巧不斷擴(kuò)展并被廣泛應(yīng)用來(lái)解決天文學(xué)、物理學(xué)中的各種實(shí)際問(wèn)題，取得了巨大的成就。但直到十九世紀(jì)以前，在微積分的發(fā)展過(guò)程中，其數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密性問(wèn)題一直沒(méi)有得到解決。十八世紀(jì)中，包括牛頓和萊布尼茲在內(nèi)的許多大數(shù)學(xué)家都覺(jué)察到這一問(wèn)題并對(duì)這個(gè)問(wèn)題作了努力，但都沒(méi)有成功地解決這個(gè)問(wèn)題。整個(gè)十八世紀(jì)，微積分的基礎(chǔ)是混亂和不清楚的，許多英國(guó)數(shù)學(xué)家也許是由于仍然為古希臘的幾何所束縛，因而懷疑微積分的全部工作。這個(gè)問(wèn)題一直到十九世紀(jì)下半葉才由法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西得到了完整的解決，柯西極限存在準(zhǔn)則使得微積分注入了嚴(yán)密性，這就是極限理論的創(chuàng)立。極限理論的創(chuàng)立使得微積分從此建立在一個(gè)嚴(yán)密的分析基礎(chǔ)之上，它也為20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。
注：在中世紀(jì)（14—17世紀(jì)）歐洲數(shù)學(xué)大發(fā)展的時(shí)期，我國(guó)基本處于停滯狀態(tài)（明、清時(shí)期）。所以，我國(guó)的數(shù)學(xué)家與微積分無(wú)緣[5]。
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常見符號(hào)
微分符號(hào)，φ?，?等，系由萊布尼茨首先使用。其中的"?"源自拉丁語(yǔ)中“差”（Differentia）的第一個(gè)字母。積分符號(hào)“?∫”亦由萊布尼茨所創(chuàng)，它是拉丁語(yǔ)“總和”（Summa）的第一個(gè)字母s的伸長(zhǎng)（和?有相同的意義）， “?∮” 為圍道積分。
標(biāo)簽： 數(shù)學(xué)分析 微分方程 不定積分
